365存錢法

最近網路上熱議的「 $365$ 存錢法」非常簡單，就是在開始存錢的第 $1$ 天存 $1$ 元，第 $2$ 天存 $2$ 元，第 $3$ 天存 $3$ 元……，依此類推，第 $365$ 天存入 $365$ 元。

下表為「 $365$ 存錢法」前四週的存錢計畫。

文本設計說明

存錢是一種良好的儲蓄習慣，它有很多種方式。「365存錢法」是近期網路上很多人在討論的一種存錢方式。「365存錢法」號稱「無痛存錢法」，它的存錢方式是：第1天存1元，第2天存2元，第3天存3元…，依此類推，第365天存入365元。此存錢方式恰好與第四學習階段裡的等差數列與等差集數和有關。利用此存錢法與進行此存錢法可能遭遇的問題，發展數學評量，不但可以引導學生發現數學的用處與價值，還能讓學生運用數學解決存錢過程中可能的真實問題。本題組首先從引導學生理解「365存錢法」的規則提問。在理解規則後，很自然的就會想到，如果存滿1年（365天），可以存多少錢？接著，是有關存錢法進行的相關提問。由於「365存錢法」在執行時比較麻煩，因為每天都要存入一定的金額。如果改為比較方便的「52週存錢計畫」一週存一次，又該如何進行存錢計畫？在執行「52週存錢計畫」時，雖然在前幾週要存入的金額雖然看起來很少，但到了後期，每週要存入金額會越來越多，經常會發生一開始存錢時很輕鬆，但到後面卻很難達成的窘境。問題3和問題4則是在探討此議題。本題組最後利用一個存錢規劃問題做結尾，如果計劃要存滿一定的金額，但「52週存錢計畫」後期有每週要存入金額會越來越多的問題，要怎麼調整或重新規劃出一個合理又可執行的計劃，才能讓自己達到目標。

問題 1.

依照上述「 $365$ 存錢法」，請判斷下列敘述是否正確？

敘述	正確/不正確
在第 $55$ 天存入的金額會比第 $54$ 天存入的金額多 $1$ 元。	正確不正確
存到第 $100$ 天的總金額會比存到第 $99$ 天的總金額多 $1$ 元。	正確不正確

學習內容	N-8-4 等差數列：等差數列；給定首項、公差計算等差數列的一般項
學習表現	n-IV-7 辨識數列的規律性，以數學符號表徵生活中的數量關係與規律，認識等差數列與等比數列，並能依首項與公差或公比計算其他各項 (此題僅針對「辨識數列的規律性」)
題型	多重是非題
滿分	代碼1：依序為「正確」、「不正確」，兩個都對才給分
零分	代碼0：其他答案代碼0X：沒有作答
說明	本題以多重是非題的形式評量學生是否理解在題幹中敘述的365存錢法。在題幹中，有「365存錢法」的敘述包括一段文字說明以及一張「365存錢法」前四週需要存入金額的表格。學生可以利用文字或表格來理解356存錢法，瞭解第1天存入1元，之後每天存入的金額會比前一天存入的金額多一元，使得存入的金額逐漸增加的規律。學生要能理解問題的特徵，並利用簡易的推論獲得結果，才能答對。

問題 2.

若依照「 $365$ 存錢法」存錢，存了 $365$ 天後，總共存了多少錢？

學習內容	N-8-5 等差級數求和：等差級數求和公式；生活中相關的問題
學習表現	n-IV-8 理解等差級數的求和公式，並能運用到日常生活的情境解決問題
題型	建構反應題
滿分	代碼1：正確計算出66795或66795元(可接受只寫出正確答案) 作答實例： 365(1+365)/2=365*183=66795 (1+365) ×365 ÷2 =366×365÷2=183×365=66795
零分	代碼0：其他答案作答實例：一共存了365元，因為每天都存了1元，到第365天就有365元 365*360=131400 我真的算不出來我還沒按到100我就忘記我按到多少了代碼0X：沒有作答
說明	學生要能將「365存錢法」轉換成等差數列，並且要能找等差數列的首項(為1)、公差(為1)等有用的資訊，建構出等差級數和的數學模式，才能答對。本題有提供計算機，因此重點不在計算，而是能根據問題所需，應用數學知識發展數學分析模式，建構正確的代數運算式。

問題 3.

覺得「 $365$ 存錢法」每天都要存錢很麻煩，於是想改為每週存一次錢的方法，共存 $52$ 週。

如下表，已計算出前 $4$ 週需要存入的金額。依照的「 $52$ 週存錢計畫」，他在第 $11$ 週要存入多少錢？

學習內容	N-8-4 等差數列：等差數列；給定首項、公差計算等差數列的一般項
學習表現	n-IV-7 辨識數列的規律性，以數學符號表徵生活中的數量關係與規律，認識等差數列與等比數列，並能依首項與公差或公比計算其他各項 (此題僅針對「辨識數列的規律性」與「能依首項與公差或公比計算其他各項」)
題型	建構反應題
滿分	代碼1：正確計算出518或518元(可接受只寫出正確答案) 作答實例： 28+10*49=518元 518元 1+(11-1)7 =71 71+72+73+74+75+76+77 =518 77-28=49 28+(49×10)=28+490 =518
零分	代碼0：其他答案。作答實例： (2 × 28+ 10 × 49 )× 11 ÷ 2 =3003 代碼0X：沒有作答。
說明	當存錢方式改為每週存一次的「52週存錢計畫」時，存錢計畫會變成怎樣？本題在提供了「52週存錢計畫」前四週的存入金額表，並詢問第11週要存入多少錢？學生要能根據提供的表格，理解每週存入的金額即7天的累積數量，而每週存入的錢額也是一種等差數列。此數列的首項為28，公差為49。因此，利用等差數列和的算則，便能計算出第11週所需要存入的金額。另一方面，學生也可以從前4週的存錢計畫表格找出規律後，逐次累加，計算出第11週所需要存入的金額。本題需要將圖表資訊轉換成數學式，並應用習得的數學事實、規則和算則進行解題。

問題 4.

每週的零用錢是 $1000$ 元，若依照他的「 $52$ 週存錢計畫」，請問從哪一週開始他每週的零用錢無法負擔當週存入的金額？請說明你的理由。

學習內容	A-7-8一元一次不等式的解與應用：單一的一元一次不等式的解；在數線上標示解的範圍；應用問題 N-8-4 等差數列：等差數列；給定首項、公差計算等差數列的一般項
學習表現	a-IV-3理解一元一次不等式的意義，並應用於標示數的範圍和其在數線上的圖形，以及使用不等式的數學符號描述情境，與人溝通 n-IV-7 辨識數列的規律性，以數學符號表徵生活中的數量關係與規律，認識等差數列與等比數列，並能依首項與公差或公比計算其他各項 (此題僅針對a-IV-3的「使用不等式的數學符號描述情境」、n-IV-7的「能依首項與公差或公比計算其他各項」)
題型	建構反應題
滿分	代碼1：正確計算出21或21週(可接受只寫出正確答案) 作答實例： 1000-49n>0 49n>1000 n>20.41 n=21 因為每週總金額相差49元，所以17 ×49= 833元，加上第四週的存錢金額是175元，17+4=21週，所以到第21週時就無法負擔存錢金額。 28+49 ×(x-1)大於等於1000 , x= 21
零分	代碼0：其他答案。作答實例： 20週代碼0X：沒有作答。
說明	本題首先需要理解題目的目的，並理解「52週存錢計畫」每週存的金額是一種等差級數。接著，要再理解並轉化「自第幾週開始，他每週的零用錢就無法負擔他的存錢計畫」成數學的不等式，然後，計算等差級數中的哪一項（哪一週）會大於1000。學生也可以嘗試先計算出數個不同週別要存入的金額，然後以嘗試錯誤法的方式，調整或計畫存入的金額並與1000進行比較，獲得答案。不論哪一種做法，學生都需要處理多元的資訊、統整不同的訊息、並能將問題轉化為數學語言，然後發展多步驟的策略，並執行及應用不同的數學事實、規則、結構和算則，以結構良好的數學論證方式推理，建立合適的模式進行預測，才能答對。

問題 5.

「52週存錢計畫」到後期每週要存入的金額會超過小明每週的零用錢1,000元，因此小明想再次調整存錢計劃，希望在24週（大約半年）後，存滿14,400元購買一台平板電腦。

請問小明能否藉由存錢計畫的調整來達成目標？如果可以，請提出一種新的存錢計劃；如果不可以，請說明你的理由。

學習內容	A-7-8一元一次不等式的解與應用：單一的一元一次不等式的解；在數線上標示解的範圍；應用問題 N-8-4 等差數列：等差數列；給定首項、公差計算等差數列的一般項
學習表現	a-IV-3理解一元一次不等式的意義，並應用於標示數的範圍和其在數線上的圖形，以及使用不等式的數學符號描述情境，與人溝通 n-IV-7 辨識數列的規律性，以數學符號表徵生活中的數量關係與規律，認識等差數列與等比數列，並能依首項與公差或公比計算其他各項 n-IV-8理解等差級數的求和公式，並能運用到日常生活的情境解決問題。 (此題僅針對a-IV-3的「使用不等式的數學符號描述情境，與人溝通」、n-IV-7的「辨識數列的規律性，以數學符號表徵生活中的數量關係與規律」、n-IV-8的「理解等差級數的求和公式，並能運用到日常生活的情境解決問題」)
題型	建構反應題
滿分	代碼1：回答「可以」，並提出一種合理且可行的存錢計劃。（存錢計劃可以是新的方式或調整「52週存錢計畫」）作答實例：可以，14400÷24=600，每週存600元可以。前10週每週多存453元，11~20週按照原本的52週存錢計畫，21~24週後每週存1000元。 ∵14400-[28+(28+(20-1)×49)]×20÷2=4530 (20週還差4530元), 第十週存的錢28+(10-1)×49=469, 4530÷10=453。
零分	代碼0：其他答案作答實例：可以 [沒有理由] 不可以，因為第21週起，每週要存的錢會起過1000元。代碼0X：沒有作答
說明	本題根據日常生活中可能的情況，評量學生思考策略與調整程序的能力。學生要具備規劃的能力，重新思考：1.能否在半年（24個月）後，存滿14,400元，2.如果可以，要怎麼執行？是調整原本的「52週存錢計畫」，或是重新規劃。學生如果利用原本的「52週存錢計畫」做調整，會比較麻煩，需要減少後期的存款、增加前期的存款。如果能跳脫原本的「52週存錢計畫」，重新規劃存錢方式則會比較簡單，例如：要存滿14,400元，每週平均要存多少錢。因此，學生要能處理多元的資訊、統整不同的訊息，才能建立合適存錢方式，才能答對。